Formules

Une liste de référence de formules mathématiques et physiques.

Mathématiques

Formule d’Euler

eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

Relie l’exponentielle complexe aux fonctions trigonométriques, pour tout réel θ\theta.

Identité d’Euler

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0

Cas particulier de la formule d’Euler pour θ=π\theta = \pi, puisque cos⁡π=−1\cos\pi = -1 et sin⁡π=0\sin\pi = 0. Elle réunit les constantes ee, ii, π\pi, 11 et 00.

Physique

Lois de Kepler

Elles décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.

Première loi (loi des orbites)

r(θ)=a (1−e2)1+ecos⁡θr(\theta) = \frac{a\,(1 - e^2)}{1 + e\cos\theta}

Chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers. Ici rr est la distance au Soleil, θ\theta l’angle mesuré depuis le périhélie, aa le demi-grand axe et ee l’excentricité de l’orbite.

Deuxième loi (loi des aires)

dAdt=12 r2 dθdt=constante\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}\,r^2\,\frac{d\theta}{dt} = \text{constante}

Le segment qui joint la planète au Soleil balaie des aires AA égales en des durées égales : la planète va plus vite près du périhélie que près de l’aphélie. Cette loi traduit la conservation du moment cinétique.

Troisième loi (loi des périodes)

T2a3=4π2GM\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G M}

Le carré de la période de révolution TT est proportionnel au cube du demi-grand axe aa. GG est la constante gravitationnelle et MM la masse du corps central.

Équations de Maxwell

Elles régissent l’électromagnétisme ; elles sont données ici sous leur forme locale, dans le vide.

Loi de Gauss pour l’électricité (Maxwell-Gauss)

∇⋅E=ρε0\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

La divergence du champ électrique E\mathbf{E} est donnée par la densité de charge ρ\rho, où ε0\varepsilon_0 est la permittivité du vide. Les charges électriques sont les sources du champ électrique.

Loi de Gauss pour le magnétisme (Maxwell-flux)

∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0

Le champ magnétique B\mathbf{B} est à divergence nulle : il n’existe pas de monopôle magnétique et les lignes de champ se referment toujours sur elles-mêmes.

Loi de Faraday (Maxwell-Faraday)

∇×E=−∂B∂t\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

Un champ magnétique variable dans le temps induit un champ électrique tourbillonnaire.

Loi d’Ampère-Maxwell

∇×B=μ0 J+μ0 ε0 ∂E∂t\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0\,\mathbf{J} + \mu_0\,\varepsilon_0\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}

Un champ magnétique est créé par une densité de courant J\mathbf{J} et par un champ électrique variable. μ0\mu_0 est la perméabilité du vide.

Loi d’Ohm (courant continu)

U=R IU = R\,I

En courant continu, la tension UU (en volts) aux bornes d’une résistance est le produit de sa résistance RR (en ohms) par l’intensité II (en ampères) du courant qui la traverse.